RPS - Niezależność zdarzeń losowych - zadania

Zad. 1. Która komisja działa lepiej: (a) jedenosobowa, której członek podejmuje prawidłową decyzję z p-stwem p, (b) trzyosobowa komisja, w której dwóch członków podejmuje prawidłową decyzję z p-stwem p każdy (niezależnie), a trzeci rzuca monetą (tzn. podejmuje prawidłową i nieprawidłową decyzję z p-stwami 1/2), w przypadku głosowania: (1) jednomyślnego, (2) większościowego? Ćw. 3. Zad. 2. Pokazać, że skończona rodzina zdarzeń niezależnych, każde o p<1, nie może pokryć całej przestrzeni zdarzeń. Ćw. 3. Zad. 3. Pokazać, że A i B niezależne wtw -A i -B niezależne. Z.d. 3 -> na kartkach. Zad. 4. (dla bardzo bardzo chętnych) N=100 więźniów dostaje następującą propozycję: W specjalnym pokoju na stole stoi 100 pudełek, do tych pudełek wrzucono losowo karteczki z liczbami 1..100, do każdego pudełka jedną. Więźniowie są ponumerowani 1..100 i wchodzą do pokoju jeden po drugim, najpierw 1, potem 2, itd. Każdy z więźniów może otworzyć dowolnych 50 pudełek i obejrzeć znajdujące się w nich kartki. Wychodząc musi zostawić wszystko tak jak zastał, nie może zostawiać żadnych znaków, zmieniać kolejności pudełek itd, generalnie: nie da się oszukać. Więźniowie którzy już byli w pokoju nie mogą się kontaktować z tymi, którzy nie byli. Każdy z więźniów ma za zadanie znaleźć (tj. zobaczyć) kartkę ze swoim numerem. Jeśli WSZYSTKIM się uda, to WSZYSCY są wolni, wpp żaden. Jakie p-stwo sukcesu da się wyciągnąć? Wskazówka: przy niezależnym otwieraniu p-stwo sukcesu wynosi 2^{-100} a da się wyciągnąć ponad 30% - trzeba mocno "uzależnić" od siebie sukcesy więźniów.